TEORI BILANGAN

TUGAS MATA KULIAH TEORI BILANGAN
Dosen : Ibu Dra. Nopem KS, S. Pd, M. Pd

NAMA : WAHYUDI
NPM : 2070630210032

TUGAS 1 :

1.Buatlah 5 contoh soal yang berkaitan dengan kombinasi lanjar?
2.Buatlah 3 contoh yang memenuhi bilangan relatif prima?

TUGAS 2 :

1.Buktikan Teorema 4 Aritmatika Modulo selain yang telah dibuktikan?

JAWAB :

TUGAS 1 :

1.5 contoh soal yang berkaitan dengan kombinasi lanjar, yaitu :

a.Nyatakan PBB (486,222) = 6 sebagai kombinasi lanjar dari 486 dan 222

486 = 2 . 222 + 42 ……………………..(1)
222 = 5 . 42 + 12 ………………………(2)
42 = 3 . 12 + 6 ……………………….(3)
12 = 2 . 6 + 0 ………………………….(4)

Susun pembagian nomor (3) menjadi

6 = 42 – 3 . 12 ………………………(5)

Susun pembagian nomor (2) menjadi

12 = 222 – 5 . 42 ……………………..(6)

Sulihkan (6) ke dalam (5) menjadi

6 = 42 – 3 (222 – 5 . 42) = 1 . 42 – 3. 222 + 15 . 42 = 16 . 42 – 3 . 222………….(7)

Susun pembagian nomor (1) menjadi

42 = 486 – 2 . 222 …………………….(8)

Sulihkan (8) ke dalam (7) menjadi

6 = 16 . 42 – 3 . 222 = 16 . (486 – 2 . 222) – 3 . 222 = 16 . 486 – 32 . 222 – 3 . 222
= 16 . 486 – 35 . 222

Jadi, PBB (486,222) = 6 = 16 . 486 – 35 . 222

b.Nyatakan PBB (222,102) = 6 sebagai kombinasi lanjar dari 222 dan 102

222 = 2 . 102 + 18 ……………………..(1)
102 = 5 . 18 + 12 ………………………(2)
18 = 1 . 12 + 6 ……………………….(3)
12 = 2 . 6 + 0 ………………………….(4)

Susun pembagian nomor (3) menjadi

6 = 18 – 1 . 12 ………………………(5)

Susun pembagian nomor (2) menjadi

12 = 102 – 5 . 18 ……………………..(6)

Sulihkan (6) ke dalam (5) menjadi

6 = 18 – 1 (102 – 5 . 18) = 1 . 18 – 1 . 102 + 5 . 18 = 6 . 18 – 1 . 102………….(7)

Susun pembagian nomor (1) menjadi

18 = 222 – 2 . 102 …………………….(8)

Sulihkan (8) ke dalam (7) menjadi

6 = 6 . 18 – 1 . 102 = 6 . (222 – 2 . 102) – 1 . 102 = 6 . 222 – 12 . 102 – 1 . 102
= 6 . 222 – 13 . 102

Jadi, PBB (222,102) = 6 = 6 . 222 – 13 . 102

c.Nyatakan PBB (177,48) = 3 sebagai kombinasi lanjar dari 177 dan 48

177 = 3 . 48 + 33 ………………………(1)
48 = 1 . 33 + 15 ………………………(2)
33 = 2 . 15 + 3 ………………………..(3)
15 = 5 . 3 + 0 ………………………….(4)

Susun pembagian nomor (3) menjadi

3 = 33 – 2 . 15 ………………………(5)

Susun pembagian nomor (2) menjadi

15 = 48 – 1 . 33 ……………………..(6)

Sulihkan (6) ke dalam (5) menjadi

3 = 33 – 2 (48 – 1 . 33) = 1 . 33 – 2 . 48 + 2 . 33 = 3 . 33 – 2 . 48………….(7)

Susun pembagian nomor (1) menjadi

33 = 177 – 3 . 48 …………………….(8)

Sulihkan (8) ke dalam (7) menjadi

3 = 3 . 33 – 2 . 48= 3 . (177 – 3 . 48) – 1 . 102 = 3 . 177 – 9 . 48 – 2 . 48
= 3 . 177 – 11 . 48

Jadi, PBB (177,48) = 3 3 . 177 – 11 . 48

d.Nyatakan PBB (360,68) = 4 sebagai kombinasi lanjar dari 360 dan 68

360 = 5 . 68 + 20 ……………………..(1)
68 = 3 . 20 + 8 ………………………(2)
20 = 2 . 8 + 4 ……………………….(3)
8 = 2 . 4 + 0 ..……………………….(4)

Susun pembagian nomor (3) menjadi

4 = 20 – 2 . 8 ………………………(5)

Susun pembagian nomor (2) menjadi

8 = 68 – 3 . 20 ……………………..(6)

Sulihkan (6) ke dalam (5) menjadi

4 = 20 – 2 (68 – 3 . 20) = 1 . 20 – 2 . 68 + 6 . 20 = 7 . 20 – 2 . 68………….(7)

Susun pembagian nomor (1) menjadi

20 = 360 – 5 . 68 …………………….(8)

Sulihkan (8) ke dalam (7) menjadi

4 = 7 . 20 – 2 . 68 = 7 . (360 – 5 . 68) – 2 . 68 = 7 . 360 – 35 . 68 – 2 . 68
= 7 . 360 – 37 . 68

Jadi, PBB (360,68) = 4 = 7 . 360 – 37 . 68

e.Nyatakan PBB (567,245) = 7 sebagai kombinasi lanjar dari 567 dan 245

567 = 2 . 245 + 77 ……………………..(1)
245 = 3 . 77 + 14 ………………………(2)
77 = 5 . 14 + 7 ……………………….(3)
14 = 2 . 7 + 0 ………………………….(4)

Susun pembagian nomor (3) menjadi

7 = 77 – 5 . 14 ………………………(5)
Susun pembagian nomor (2) menjadi

14 = 245 – 3 . 77 ……………………..(6)

Sulihkan (6) ke dalam (5) menjadi

7 = 77 – 5 . (245 – 3 . 77) = 1 . 77 – 5 . 245 + 15 . 77 = 16 . 77 – 5 . 245………….(7)

Susun pembagian nomor (1) menjadi

77 = 567 – 2 . 245 …………………….(8)

Sulihkan (8) ke dalam (7) menjadi

7 = 16 . 77 – 5 . 245 = 16 . (567 – 2 . 245) – 5 . 245 = 16 . 567 – 32 . 245 – 5 . 245
= 16 . 567 – 37 . 245

Jadi, PBB (567,245) = 7 = 16 . 567 – 37 . 245

2.3 contoh yang memenuhi bilangan relatif prima, yaitu :

a.Bilangan 40 dan 13 adalah primitif prima karena PBB (40,13) = 1 , atau dapat ditulis :

1 . 40 + (-3) . 13 = 1 (m = 1, n = – 3)

b.Bilangan 50 dan 11 adalah primitif prima karena PBB (50,11) = 1 , atau dapat ditulis :

2 . 50 + (-9) . 11 = 1 (m = 2, n = – 9)

c.Bilangan 35 dan 23 adalah primitif prima karena PBB (40,13) = 1 , atau dapat ditulis :

2 . 35 + (-3) . 23 = 1 (m = 1, n = – 3)

TUGAS 2 :

1.Buktikan Teorema 4

a.Jika a  b (mod m) maka a + c  b + c (mod m)
Bukti
a  b (mod m) berarti m │(a-b)
 a = b + km
 a-b = km
 (a-b) + 0 = km
 (a-b) + (c-c) = km
 (a+c) – (b+c) = km
Karena (a + c) – (b + c) = km, berarti m │ (a + c) – (b – c) atau a + c = b +c (mod m)

b.Jika a  b (mod m) maka an = bn (mod m)
Bukti
a  b (mod m) berarti m │(a – b) dapat dinyatakan a – b = km
Selanjutnya kita mengetahui bahwa
an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ….. + bn-1)
Karena a – b │ a – b , maka
a – b │ an – bn , atau
a – b │(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ….. + bn-1)
Jika m │a – b dan a – b │ an – bn , maka a-b │ an – bn
Jadi a – b │ an – bn atau an  bn (mod m)

c.Jika a  b (mod m) dan c  d (mod m) maka ac = bd (mod m)
Bukti
a  b (mod m) berarti m │(a – b)
c  d (mod m) berarti m │(c – d)
Menurut dalil keterbagian
m │(b – a) dapat dinyatakan dengan a – b = k1m
m │(c – d) dapat dinyatakan dengan c – d = k2m
 (a -b) c = (k1m) c, c  Z atau (ac – bc) = (k1m)c, c  Z
 (c-d) b = (k2m) b, b  Z atau (cb – db) = (k2m)b, b  Z
+
 (ac-bd) = (k1m)c + (k2m)b, c,b  Z.
 (ac-bd) = (k1c + k2b)m, (k1c + k2b)  Z atau m │(ac – bd ) atau (ac) ≡ (bd) (mod m)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: